春节特刊 | 登上《Nature》的中国音律高人【5】——“十二等程律”

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记得年纪超过8000岁的贾湖骨笛吗? 它的发现说明早在管子以前的数千年,律学已进入实践,管子在吸收、整理、归纳前人的经验后提出“三分损益法”,已有科学依据和实践基础的铺垫。

 

三分损益法,堪称中国律制的老祖宗,将音乐学、数学和声学互相渗透,通过数理计算来研究各律的音高。打个比方,在律制兄弟会里,它就是说一不二、背景深厚的老大凉凉。可是,凉凉它有毛病啊,凉了?

 


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我们接着上期的《管子·地员篇》中的(96单位)(108)(81)(72)(64)算下去,运用三分损益法的2/3和4/3,以宫音为最低音,定为黄钟音。

 

要是想问括号中的数字是什么意思,我就敲!……敲敲自己,怎么上一期的东西才过去1天你就忘掉了,肯定是我写的不够好quq。不过,没有了解的朋友可以戳这里《春节特刊 | 登上《Nature》的中国音律高人【4】——“三分损益法”》

 

在黄钟音(81)和清黄钟音(40.5)这个八度音程之间,计算出十二个音律。

 

要是想问为什么八度音程是81和40.5的关系,我!我肯定还是!……再敲自己,上上期的东西也忘掉了,那必须是我写的不好了QAQ,没有了解的朋友可以戳这里《春节特刊 | 登上《Nature》的中国音律高人【4】——“三分损益法”》

 

可以看到,原来的羽音和徵音,已经超过了我们所求的八度范围,所以将他们提高八度,变为羽(48)和徵(54)。

 

由此,可以接着计算,得到十二律。

算数反正对你来说也!……也是小菜一碟,我就不再赘述了。


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注意到问题所在了吗?

 


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按理说,清黄钟比黄钟音高八度,无论律管或是弦长,长度单位应是1:2的关系,这样不断升高或是降低的音调才会符合“等差音高”的关系,才会回归,才能转调。

 

然而,通过三分损益法计算得出的清黄钟音(39.9549)与我们理想需要的那个音(40.5)之间仍有一段不小的差距。

这就是“黄钟不能还原”的问题。在十二次 2/3 或 4/3的计算后三分损益法所求的律实际上是一种不平均律,最后的值也无法达到原始的 1/2。

 


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理想

 


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现实



这样就暴露出了十二个音律循环后不能回归本律和无法旋宫转调的问题。

 

转了一圈回来发现不能回到最初的起点,音符没办法完美回归。

其对音乐演奏的影响巨大,不仅不能回归最初的起点,产生音差;而且转调麻烦,多次转调后音调更是相去甚远。

举例来说,和三五好友去KTV,准备一展歌喉,清唱时总是宛如林籁泉韵,然而一合上伴奏,要么太高要么太低,有时候一张嘴连音都找不到了。

 


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图为全民K歌软件截图



这时,点播机的升降音功能就格外重要了。统一把伴奏的音高降低或升高一些,这样曲子的旋律听起来仍会非常自然,并没有多大改变。

 

这个过程就叫做转调。然而,在三分损益法生成的十二音阶系统中,因为内部的音程比例关系不固定,转调就会产生偏差。每个新音律都是原来音符的2/3倍,或者4/3倍,而返宫却要回到八度,也就是2的整数倍。2/3和2的关系无法调和。

换句话说,你找不到一个数,同时是3的幂和2的幂。

 

既然如此,三分损益法永远无法找到完美的返宫。

不能达到十二律还相为宫的要求,也不能达到律历的和谐。

 

两千年来,尽管先后出现汉代京房六十律、南北朝时期钱乐之和沈重三百六十律、何承天新律、荀助笛律、隋唐五代刘蝉十二等差律、五朴纯正音阶律、宋代蔡元定三分损益十八律等等,虽都是为了更进一步,却没有本质上的改变。

 

或是对三分损益法的修修补补,或是过于繁琐复杂,都步入了山穷水尽的困境。

 

只有正视不可调和的缺陷,彻底抛弃旧有律法。

改弦易辙是唯一的出路。

 


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如果能找到一种均分的音律体系,从黄钟音出发,既可以从高音旋转到低音,又可以从低音旋转到高音,这样无论怎么转调都不会跑偏,就可以实现完美返宫。

 

 

朱载堉以一己之力(其实也不是一己= =)跨越千年藩篱,破天荒地(也不能说是破天荒0 0)并且找到了一种在八度之间找到12个音的全新律制,相邻的两音之间音程相等。

 

这就是十二等程律。

那么应该如何均分音程?

 


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假设黄钟音律管的长度为2个单位,清黄钟音律管是1,蕤宾是这两个音之间的等距音律。

又因为音调讲求的是比值而不是差值,所以蕤宾律管的长度应该是1和2之间的等比中间值——√2。

那么如果要把从黄钟到清黄钟音之间的一个八度,分成等比的12份,就可以通过开平方两分,再开平方四分,之后再开立方十二分,得到了2的12次方根。这就是任意相邻两律之间的音程。

 

理清这些后,朱载堉需要先计算2的平方,然后开方,最后再开立方。

我们现在知道,根号2是无理数,有无穷个小数位,可明朝那时还没有计算器,更何况要计算2的12次方根。

那个时代,算盘是世界上最先进的演算工具。朱载堉在计算音调比值时发现,开根号得到的数值必须非常精确。√2的值我们都可以脱口而出——1.414,但小数点后三位的精度远远不够。

 


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朱载堉用他自创的九九八十一档的、长达几米的双排大算盘,计算出了精确到小数点后24位的结果。

据文献记载,他作为世界上第一个用算盘开平方、开立方的人,还自编了一套开方口诀:“一已上开一,八已上开二,二十七已上开三……”

 

朱载堉可谓煞费苦心,在繁杂的计算中,他还发现了九进制和十进制之间转换的诀窍。因为三分损益法的实际应用中黄钟律管的长度为九寸,而朱载堉自己提出的十二等程律,是以一尺也就是十寸作为黄钟,需要在二者之间进行频繁的进制转换。

 

西方的进制转换于1701年被德国的莱布尼兹发明,但朱载堉的进制转换比莱布尼兹提早了百余年。

 

朱载堉最终计算得到2的12次方的数值:1.059463094359295264561825。精确到小数点后24位,这称得上算学上的奇迹了。

他将自己关于“新法密律”的研究著成《律吕精义》内外两篇,清代著名学者、历算家江永研读后,不禁“悚然惊,跃然喜”,“诧为奇书”,“一见而屈服”,简直让人不服不行。

 


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相邻音律之间比值固定,所以从1出发,逐个乘以2的12次方,就得到了每个音律的数值,完美地回到2。

十二等程律的发明是对中国乃至世界律学史的重大贡献,解决了黄钟不能还原和十二律不能还相为宫的问题,实现了回归和逆生顺生。

 

 




两种律制相比来说,在有限的几个八度内,二者差别不大,人耳很难区分出来。

比如用三分损益法得到的仲吕音,音律比值是1.5,而用十二等程律得到的仲吕音律比值是2的7/12次方。

1.498307076876681498799281和1.5,二者差别小之又小,一般人耳很难察觉出来。

 

但如果在很宽广的音域内,十二等程律的优势就格外明显了。

虽然轻微地牺牲了遵循简单整数倍的旧有原理,但在十二等程律中,它保证了音程倍数关系永远是固定值,因此任何音程度数都不会随着音高的升降而改变。

 

如果将音阶里面的所有组成音都升高或降低几度时,音程的倍数关系不变,旋律、音调听起来也不会出现不自然的改变。因此,在使用等程律的现代电子音乐中乐器可以轻松地完成转调的工作,而不需要每次为不同的调来调整音高的设置。

 

这个两千年来一直困扰我国各代律学家的问题被朱载堉攻克,除去研究发明本身,更引人入胜的是,是怎样的“天时地利人和”造就了一个稀世人才,坚韧不拔的精神和严谨的治学态度的背后,他又是缘何因果取得如此成就。

 

朱载堉有所作为的背后,有什么可以复制的成功经验?

 

 

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