春节特刊 | 登上《Nature》的中国音律高人【4】——“三分损益法”

 

 


 

最近大火的电影《唐人街探案2》中谈到了道家经典:“一生二、二生三、三生万物”。本期的我们的重点也和“三”有关。

 

一个个音是如何在一个八度中被确定下来,这其实是律学的中心问题。也就是说,如果某一个音的频率是1,那么我们得找出1和2之间还有那些重要的频率,形成一系列音律。


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如果你有学习弦乐器的经历,比如古琴、古筝、吉他、小提琴之类的,就能笃而论之,他们的发声是因为琴弦的震动。而通过按压等方式,改变琴弦的长度,发声的音调就会发生变化。

 

脑海里想象一个类似古琴的模型。

假设,我们现在按在一根琴弦上的某一个位置,然后拨动琴弦,得到一个音,将弹奏的这一部分琴弦的长度规定为一个单位。

然后,移动按压的位置,将原来振动的全部弦长,缩短到原来的1/2,这时再拨动琴弦,我们会听到一个比较高的音。物理上,弦的振动频率和其长度是成反比的。这个音和上一个音之间,就是八度音程的关系。

 

画一个简易版的图示。

 

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先画一根琴弦,规定它的长度为1,假设它的音高是中音1,叫做“主音”。

 

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弹奏时它会上下振荡,画一个梭子表示琴弦的振动。我们把它叫做一个“包络”,代表这个音的波形。

 

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接下来,按住这根琴弦的中间位置,分别拨动左右两边的琴弦,这样琴弦振动起来就像两个包络。这个声音就比原来的高了八度,变成了高音1,

 

弦乐器作为发展最早的乐器种类之一,历史悠久,在中国从古至今都占有着重要地位,浸润着中国传统文化的深厚内涵。

在古代,这种现象早已被人熟知。

 

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不难继续探究,如果在弦乐器上用按中点的方式这么简单的方式,就能实现八度音程2:1的关系。那么试试按别的位置会怎么样呢?

数学上2:1是最简单的比例关系,简单性仅次于它的就是3:1。那么,如果按住弦的1/3点,分别弹奏两部分,会怎么样呢?会得到两个高一些的音。

其中,弦长变成原来的1/3的那部分琴弦,发音的频率是原来的3倍,另一段变成了原来的2/3的弦,弦音是原来的3/2倍。

值得注意的是,因为它们彼此的弦长比是2:1,这两个音彼此也是八度音程的关系。

 

这样一来,在我们要寻找的1~2这样一个八度的音高范围内,出现了第一个重要的频率,即3/2。

接着再试,简单性次于3:1的是4:1。那试试按弦的1/4点会怎样?

同样出现了两个音。弦长变为原来的1/4的部分,音的频升为4倍,比最初那个音高两个八度。弦长是原来的3/4的那部分,音的频率是主音的4/3倍。这样在1~2之间就又得到了一个重要的频率,4/3。

 

得到这两个频率之后,是否再取5:1、6:1继续找下去呢?

在听觉上,这些音与主音的和谐程度远不及3/2、4/3这两个频率。

 

接着画简易图示。

 

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以此类推,接着按住琴弦的1/3处,弹奏的声音更高了,声音频率变成3倍,这样就可以画出三个包络。

 

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以此类推。

由图示可见,每个包络结束,波形又回到了起点。

 

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这三个波形,在起始点和终点各有一个重合点(实蛙),也就是说最少经过两个包络、或者三个(虚蛙),这三个波形就又同时回归到共同的位置。

 

在“回家”这件事情上,音符和赶春运回家的你一模一样。

音符就像恋家的游子,越容易回到诞生的地方,内在和谐的感觉越强,听起来,也就越和谐悦耳。

 

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当波形的出发点和回归点重合时,声音听起来和谐。

因为这样的过程同时出发又同时回归,就像诗歌的押韵一样有规律。

 

打个比喻。唐诗的五言和七言绝句听起来抑扬顿挫的秘方就是押韵,句子最后的一个韵母都相同。每句诗的最后一个音节押一下韵,就像是一次声音的回归,所以听起来好听。

 


窗前明月光,

疑是地上霜,

举头望明月,

低头思故乡。

——《静夜思》




荡胸生层云,

决眦入归鸟,

会当凌绝顶,

一览众山小。

——《望岳》节选




对于声音来说,回归所需的包络越多,和谐性就越差。

 

一根琴弦,在长度不同的情况下振动,可以发出音调高低不同的声音。在听觉上,与主音1最和谐的,除了主音的各个八度之外,就是3/2和4/3。

 

这个发现,和见载于先秦时期《管子·地员篇》、《吕氏春秋·音律篇》 “三分损益律”有“异曲同工之妙”。也就是我们上一篇中提到的“三生万物”。



凡将起五音凡首,先主一而三之,四开以合九九,以是生黄钟小素之首,以成宫。三分而益之以一,为百有八,为徵。不无有三分而去其乘,适足,以是生商。有三分,而复于其所,以是成羽。有三分,去其乘,适足,以是成角。

——《管子·地员篇》



『凡将起五音』

凡想求取或计算五音,可依照下述方法

『凡首,先主一而三之』

第一步须做的,先要以一乘以三

『四开以合九九,以是生黄钟小素之首以成宫』

“四开”,即四次方之意(之所以选择3来做乘方的运算,是为了后续计算的方便),可得八十一(1×3^4=81)。黄钟为十二律之一,表示音的高度,相当于现在所谓的C调。“小素”是琴的小弦。整句的意思是说,长度为八十一单位的律管之音,与琴上的小弦一样,为黄钟的宫音。

『三分而益之以一,为百有八,为徵』

把八十一分为三等份得27,加其一份,结果为一〇八(81÷3×4=108),这就是徵音的长度

『不无有三分而去其乘,适足,以是生商』

如果再从一〇八中减去三分之一,就是商音(108÷3×2=72)

『有三分,而复于其所,以是成羽』

七十二加其三分之一,得到的就是羽音(72÷3×4=96)

『有三分,去其乘,适足,以是成角』

再从九十六中减去其三分之一,得到的便是角音(96÷3×2=64)

 

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根据物理学原则,管弦越长则音越低。以此排列,最低音是徵(108),次低为羽(96),接着是宫/黄钟(81),商(72),角(64)。

 

若以宫音,即黄钟音为最低音,在和比它高八度的清黄钟音之间,只要反复利用2/3和4/3,继续往下推算,便可求全一个八度音程中的十二律。

 

这就和我们前文,识海拨弦的计音方式大致相通。

从一个固定的音出发,乘以一定的比例就可以构造出所有的音符。

 

“三分损益法”,采用数学方法计算五声音阶中各音管长或弦长之比,是世界上最早、也是当时最先进的律学计算方法。无论在国内还是国外,这种律制的形成对律学学科的发展、各种律制的产生都具有不可磨灭的作用,担得起“开律制之先河”的赞誉。从某种意义上讲,三分损益法揭开了中国乃至世界律学研究的宏伟篇章。

 

纵然如此,“金无足赤”,无法回避的事实是,三分损益法存在着一个非同小可的不足;但是,古时却因为它在律学中难以动摇的统治地位和封建王权的推崇,而没有真正有能够与之分庭抗礼的律制登上舞台。

甚至,在能够解决三分损益法弊病的“新法密律”被发明出之后,一人的唯真、唯法、唯实,仍然不敌时代的唯书、唯上、唯权。


 

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